〜ようになる
come to (do), become able to
Verb dictionary / potential form + ようになる
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ようになる describes a change in what someone does or can do: 日本語の新聞が読めるようになりました, "I've become able to read Japanese newspapers".
With the potential form, it's a new ability: 泳げるようになった, "(the child) can swim now".
With the ordinary dictionary form, it's a new habit: 最近、野菜を食べるようになりました, "I've started eating vegetables lately".
Compare なる with nouns and adjectives (上手になる, 寒くなる). Verbs can't go straight before なる, so ように is the bridge.
For a change to not doing something, the negative is usually なくなる: 見なくなった, "I stopped watching".
Examples
日本語の新聞が読めるようになりました。
I've become able to read Japanese newspapers.
最近、野菜を食べるようになりました。
I've started eating vegetables lately.
子どもは一人で泳げるようになった。
My child can swim on their own now.
毎朝早く起きるようになりました。
I've got into the habit of getting up early.
前は納豆が嫌いでしたが、今は食べられるようになりました。
I used to hate natto, but now I can eat it.